On the nullity of some graphs structures
Tezin Türü: Yüksek Lisans
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Van Yüzüncü Yıl Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, MATEMATİK ANABİLİM DALI, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2017
Tezin Dili: İngilizce
Öğrenci: JAFAR MUHAMMAD TELI
Danışman: Mehmet Şerif Aldemir
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Özet:Uygulamalı Matematiğin bir dalı olan graf(çizge) teorisi mühendislikten fen bilimlerine, işletmeden sosyal bilimlere kadar bir çok uygulamaya sahiptir. Uygulamada karşılaşılan birçok problem graflar vasıtasıyla modellenerek çözümleri bulunmaya çalışılır. Çizge teorisi (graph theory) literatürde çok farklı disiplinlerin çalışma alanına girmektedir. Sosyolojiden matematiğe, işletmeden bilgisayar bilimlerine kadar farklı alanlarda kullanılmaktadır. Örneğin bilgisayar bilimlerinin altında ayrık matematik (discrete math) veya endüstri mühendisliği altında yön eylem çalışmaları (operations research) veya matematiğin bir çalışma alanı olarak karşılaşılabilir. Çizge teorisi temel olarak bir problemin kenar (edge) ve düğümler (node) ile modellenmesi ve bu modelin bir çizge şeklinde gösterilmesi ilkesine dayanmaktadır. Çizge teorisinde tanımlı olan bazı özellikler bu modelin çözümüne ve dolayısıyla gerçek problemin çözümüne yardımcı olmaktadırlar. Yani çizge teorisinin işe yaraması için öncelikle gerçek dünyadan bir problem çizge olarak modellenir, bu model çözülür ve daha sonra gerçek dünyaya uygulanır. Graf(Çizge) teorisi, 1700′ lü yılların meşhur problemi olan "Königsberg'in 7 köprüsü" probleminin çözümüyle doğmuştur. Königsberg şehri Pregel nehrinin kıyısına kurulmuş ve yedi ayrı köprü ile birbirine bağlanmış dört farklı bölümden oluşmaktadır. Zamanla insanlar kendilerine, aynı köprüden bir kez daha geçmemek üzere tüm şehri dolaşmanın mümkün olup olmadığı sorusunu sormuşlardır. Ancak hiç kimse böyle bir rota çizemedi, dönemin meşhur matematikçilerinden biri olan Leonhard Euler' de dahil, fakat Euler bunun neden mümkün olamayacağını ispatlayabilmiştir. Euler, problemin ispatı için şekli daha basit bir hale getirmiştir, bunun için köprüleri çizgiler ve şehir parçalarınıda noktalar halinde ifade etmiştir, bunun sonucu olarak aşağıdaki şekil ortaya çıkmıştır. Euler böyle bir gezinin mümkün olabilmesi için her noktada buluşan çizgilerin toplam sayısının çift rakam olması gerektiği kanısına varmıştır, bu sayede bir noktaya ulaşmak için köprülerden birisi, çıkmak içinse diğeri kullanılacaktı, ancak ortada bir istisna vardı, başlangıç ve bitiş noktaları. Başlangıç ve bitiş noktalarının farklı olduğu durumlarda bu iki noktanın sadece tek bir çizgi ile diğer noktalara bağlı olması gerekiyordu, başlangıç ve bitiş noktalarının aynı olduğu durumlarda ise her noktanın çift sayıda köprüye ihtiyacı vardır. Bütün bu düşünceler ışığında Euler genel bir teoremi ortaya çıkartmıştır, bu teoreme göre böyle bir gezintiyi mümkün kılabilmek için sistemdeki her bir noktaya ulaşan toplam çizgi saysının çiftolması yada en fazla iki noktaya ulaşan toplam çizgi sayısının tek olması zorunluydu. 1736`da Euler`in incelemeleri böyle bir gezintinin mümkün olmadığını kanıtlamış ve bu tür dolaşmayı mümkün kılacak çizgelerin şu özelliklere sahip olmaları gerektiğini göstermiştir, birleşik bir çizgenin bütün elemanlarını bir ve yalnız bir kez kullanarak dolaşmak için o çizgenin tek dereceli düğümlerinin sayısı, eğer varsa, iki olmalıdır, tek dereceli düğümler dolaşmanın başlangıç ve bitiş düğümleridir, çizgede böyle düğümler yoksa dolaşmaya herhangi bir düğümden başlanabilir. Çözümün temelinde yatan düşünce şudur, bir düğüm, başlangıç ya da bitiş düğümü değilse o düğüme gelen kişinin turu tamamlayabilmek için oradan ayrılması gerekecektir. Dolayısıyla bu tip düğümler çift dereceleri olmalıdır, oysa tek dereceli bir düğüme ikinci kez gelen bir kişi çıkış yolu bulamayacaktır. Dolayısıyla bu düğüm ya gezintinin bitiş düğümü olmalıdır ya da başlangıç düğümü olarak seçilmelidir ki ikinci gelişte çıkış yolu bulunabilsin, buna göre tek dereceli düğüm sayısı ikiden fazlaysa gezinti tamamlanamayacaktır. Yürüyüşün sonunda başlangıç noktasına dönülebilmesi içinse bütün düğümler çift dereceli olmalıdır, böylece, başlangıç ve bitiş düğümü aynı olan ve her bir elemanı sedece ve en az bir kez içeren turlara "Euler turu" ve Euler turu içeren çizgelere de "Euler çizgesi" denmiştir. Yine 19. Yüzyılın en meşhur problemlerinden biri olan "Oniki yüzlü bir şeklin köşelerinin her birine bir kere uğramak koşulu ile tüm alanda devir yapmak mümkün müdür?" problem de İrlandalı bir fizikçi, matematikçi ve astronom Sir William Rowan Hamilton tarafından graf teorisi yardımıyla çözülebilmiştir. Bu iki çalışmadan sonra, Graf Teorisi 20. Yüzyılın ilk yıllarından itibaren uygulamalı matematiğin yeni bir dalı olarak ortaya çıkmıştır.Graf teorinin diger matematik bilim dallarıyla ilişkisi de son yıllarda bir çok araştırmacının dikkatini çekmiştir. Graf teorinin lineer cebirle ilişkisi son kırk yıldır literatürde çalışılmaya başlanmış ve "Lineer Cebirsel Graf Teori" nin doğuşu gerçekleşmiştir. İşte bu çalışmada Lineer Cebirsel Graf Teorinin bir konusu olan grafların sıfırlıkları ve bu sıfırlıkların kimyasal graf teoride kimyasal özelliklerle ilişkisiyle ilgili son zamanlarda literatürde yapılan çalışmaların özet bir sunumundan ibarettir.Çalışmanın ilk bölümünde temel tanım ve teoremler verilerek graflar ve matrisler arasındaki ilişki ortaya konulmuştur. Ayrıca konuyla ilgili bir literature taraması verilmiştir. İkinci bölümü sıfırlık kavramının lineer cebir bakımından incelenmesi ve bu sıfırlık kavramının graf teorisine nasıl taşındığıyla ilgili olup, konunu daha iyi pekişmesi için seçilen bazı özel graf sınıfları için sıfırlıkların bazı graf değişmezleri ile ilgili ilişkisiyle ilgili bazı sonuçlar yine bu ikinci bölümde ifade edilmiştir. Üçüncü bölüm kimyasal grafların sıfırlıkları ve bu sıfırlıkların bukimyasal grafların kimyasal özellikleri arasındaki ilişki üzerinedir. Özellikle son tepe lemmasının nasıl uygulandığıyla ilgili örnekler gerçekten çok ilgi çekicidir. İzomer grafların sıfırlıklarının ayrı olabileceği gerçekten kimyasal açıdan önem arzeder. Yine yapısal izomerler ve sıfırlıklar arasındaki ilşkiyle ilgili daha ileri çalışmaların sonuçları bu bölümde ifade edimiştir. Ayrıca sıfırlıkların Matlab programı yardımıyla nasıl hesaplanacağıyla ilgili bazı örnekler yine bu bölümde sunulmuştur. Sonuç olarak grafların matrislerle değişik temsillerinden ve bu temsillerin lineer cebirsel özelliklerinin incelenmesi ve konunun daha açık ve anlaşılır sonuçlarla ifade edilmesi için daha bir çok çalışmaya ihtiyaç duyulduğu aşikardır.